calculo diferencial

El cálculo diferencial, un campo de la matemática, es el estudio de cómo cambian las funciones cuando sus variables cambian. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada. Una noción estrechamente relacionada es la de diferencial.

La derivada de una función en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una función cambia conforme un argumento se modifica. Esto es, una derivada involucra, en términos matemáticos, una tasa de cambio. Una derivada es el cálculo de las pendientes instantáneas de f(x) en cada punto x. Esto se corresponde a las pendientes de las tangentes de la gráfica de dicha función en el punto dado; dichas tangentes pueden ser aproximadas por una secante que pase por dos puntos muy cercanos al punto bajo el que se desea obtener la tangente. Las derivadas también pueden ser utilizadas para calcular la concavidad.

Las funciones no tienen derivadas en los puntos en donde hay una tangente vertical (la cual tiene una pendiente infinita), una discontinuidad o bien un pico.

La inversa de una derivada se llama primitiva, anti derivada o integral indefinida.






Diferenciación y diferenciabilidad

La Diferenciación puede ser usada para determinar el cambio que se produce como resultado de otro cambio, si está determinada una relación matemática entre dos objetos.

Una función es diferenciable en un punto x si su derivada existe en ese punto; una función es diferenciable en un intervalo si lo es en cada punto x perteneciente al intervalo. Si una función no es continua en c, entonces no puede ser diferenciable en c; sin embargo, aunque una función sea continua en c, puede no ser diferenciable.

Para la función derivada de f(x), se escribe . De modo parecido, para la segunda derivada de f(x) se escribe , y así sucesivamente.

Cociente diferencial de Newton


Las derivadas se definen tomando el límite de la pendiente de las rectas secantes conforme se van aproximando a la recta tangente.

Es difícil hallar directamente la pendiente de la recta tangente de una función porque sólo conocemos un punto de ésta, el punto donde ha de ser tangente a la función. Por ello, aproximaremos la recta tangente por rectas secantes. Cuando tomemos el límite de las pendientes de las secantes próximas, obtendremos la pendiente de la recta tangente.



Algunos ejemplos de cómo utilizar este cociente:

Ejemplo 1

Consideremos la siguiente función:





Entonces:







Esta función es constante, para cualquier punto de su dominio vale 5 (por eso f(x+h)=5). Nótese el último paso, donde h tiende a cero pero no lo toca. Si pensamos un poco, observaremos que la derivada además de ser la pendiente de la recta tangente a la curva, es a la vez, la recta secante a la misma curva.

Ejemplo 2

Consideremos la gráfica de . Esta recta tiene una pendiente igual a 2 en cada punto. Utilizando el cociente mostrado arriba (junto a los conceptos de límite, secante, y tangente) podremos determinar las pendientes en los puntos 4 y 5:





Entonces:















Y vemos que se cumple para cualquier número n:







Por tanto, se deduce que el valor de la función derivada de una recta es igual a la pendiente de la misma.







Ejemplo 3

Mediante esta diferenciación, se puede calcular la pendiente de una curva. Consideremos que:

Entonces:









Para cualquier punto x, la pendiente de la función es .

El cociente diferencial alternativo

Arriba, la derivada de f(x) (tal como la definió Newton) se describió como el límite, conforme h se aproxima a cero. Una explicación alternativa de la derivada puede ser interpretada a partir del cociente de Newton. Si se utiliza la fórmula anterior, la derivada en c es igual al límite conforme h se aproxima a cero de [f(c + h) - f(c)] / h. Si se deja que h = x - c (por ende c + h = x), entonces x se aproxima a c (conforme h tiende a cero). Así, la derivada es igual al límite conforme x se aproxima a c, de [f(x) - f(c)] / (x - c). Esta definición se utiliza para una demostración parcial de la regla de la cadena.







Notaciones para la diferenciación

La notación más simple para la diferenciación que se utiliza en la actualidad se debe a LaGrange y utiliza un apóstrofo o comilla: ′. De esta manera se expresan las derivadas de la función f(x) en el punto x = a, se escribe:

Para la primera derivada,

Para la segunda derivada,

Para la tercera derivada, y luego de forma general,

Para la n-ésima derivada (donde normalmente se da que n > 3).

Para la función cuyo valor en cada x es la derivada de , se escribe . De forma similar, para la segunda derivada de f se escribe , y así sucesivamente.

La otra notación común para la diferenciación se debe a Leibniz. Para la función cuyo valor en x es la derivada de f en x, se escribe:


Se puede escribir la derivada de f en el punto a de dos formas distintas:


Si la resultante de f(x) es otra variable, por ejemplo, si y=f(x), se puede escribir la derivada como:


Las derivadas de orden superior se expresan así

o
Para la n-ésima derivada de f(x) o y respectivamente. Históricamente, esto proviene del hecho de que, por ejemplo, la tercera derivada es:


Que se puede escribir sin mucho rigor como:


Eliminando las llaves nos da la notación que está arriba.

La notación de Leibniz es tan versátil que permite especificar la variable que se utilizará para la diferenciación (en el denominador). Esto es específicamente relevante para la diferenciación parcial. Y también hace más fácil de recordar la regla de la cadena, debido a que los términos "d" se cancelan simbólicamente:

.

Sin embargo, es importante recordar que los términos "d" no se pueden cancelar literalmente, debido a que son un operador diferencial. Sólo se utilizan cuando se usan en conjunto para expresar una derivada.

La notación de Newton para la diferenciación consiste en poner un punto sobre el nombre de la función:



Y así sucesivamente.

La notación de Newton se utiliza principalmente en la mecánica, normalmente para las derivadas con respecto al tiempo tales como la velocidad y la aceleración y en la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias. Normalmente sólo se utilizan para la primera y segunda derivadas.

Otra notación consiste en colocar una letra 'D' mayúscula para indicar la operación de diferenciación con un subíndice que indica la variable sobre la que se derivará:

Dxf,

Que es equivalente a la expresión:


En ese contexto se considera a la diferenciación como una operación sobre funciones, de modo que los símbolos y Dx son llamados operadores diferenciales.

Puntos críticos

Reciben el nombre de puntos críticos aquellos puntos de la función en los que la derivada tiene valor nulo; también pueden recibir el nombre de puntos estacionarios.

Si la segunda derivada es positiva en un punto crítico, se dice que el punto es un mínimo local; si es negativa, se dice que el punto es un máximo local; si vale cero, puede ser tanto un mínimo, como un máximo o un punto de inflexión. Derivar y resolver en los puntos críticos es a menudo una forma simple de encontrar máximos y mínimos locales, que pueden ser empleados en optimización.

Derivadas notables

Para las funciones logarítmicas:

La derivada de e elevado a x es e elevado a x.


La derivada del logaritmo natural (ln) de x es 1 partido por x.

Para las funciones trigonométricas

La derivada del seno de x es el coseno de x.


La derivada del coseno x es menos seno de x.


La derivada de la tangente de x es la secante al cuadrado de x.


La derivada de la cosecante de x es el producto de menos cosecante de x por la cotangente de x.


La derivada de la secante de x es el producto de la secante de x por la tangente de x.


La derivada de cotangente de x es menos cosecante al cuadrado de x.

Ahora aprendamos a comprobar si una integración es correcta. Recordemos que si aplicamos la derivada a una integración podemos obtener directamente

·
·
· Comprobemos que la integral siguiente es correcta

·
· Derivando el resultado obtenemos

·
· Lo cual no ha conducido ha obtener la función original. Este tipo de funciones adquieren un nombre especial.

· Definición de función primitiva. Sea se dice que F(x) es una función primitiva de f(x) si se cumple

·
· Por lo que del ejercicio anterior podemos decir que

· Es una función primitiva de
· Comprobemos la integración

·
· Derivando el segundo miembro de la igualdad tenemos:

·
· Lo cual demuestra la integración es correcto.



· Podemos realizar la comprobación de otra de las fórmulas de integración que aparecen en las tablas de integrales

·
· Derivando la segunda expresión tendremos:

·
· Lo cual directamente nos manda al resultado.

· Nota: Esta es una forma muy fácil de poder comprobar los resultados sin embargo para integrales definidas es importante considerar el teorema fundamental del cálculo

· Hagamos un ejercicio mas, demostremos que

·
· Derivando la segunda expresión tendremos:

·






Utilización de la integral
Integremos las siguientes funciones

a) f(x)=x8

b) f(x)=x100

c) f(x)=3x

d) f(x)=x2 +2x+1

____________

a) f(x)=x8


b) f(x)=x100


c) f(x)=3x

Como la integral cumple con la propiedad




Entonces


Ahora aplicando la fórmula


Tendremos:


d) f(x)=x2 +2x+1

Para obtener la integración de este polinomio de segundo orden recordemos que


Podemos considerar que el polinomio x2 +2x+1 se puede expresar como una suma de tres polinomios donde

F(x)=x2; g(x)=2x; h(x)=1

Es decir, de acuerdo al álgebra de funciones

S(x)= f(x)+g(x)+h(x)

Por lo que




Ejemplos:

1.

Haciendo observamos que por lo que integraremos en realidad

Como podemos extraer las constantes de la integral tendremos:


Que regresando a la sustitución inicial tenemos:


2.- Integrar la función f (h)=cos ah mediante sustitución trigonométrica


Se puede efectuar directamente reconociendo que el diferencial es adh, sin embargo hagámoslos por medio de la sustitución u=ah por lo que si despejamos h tendremos


Utilizando esto en la integral tendremos:


Como la constante la podemos sacar de la integral tendremos:


Pero la integral


Entonces












Otras propiedades

Linealidad de la integral indefinida

La primitiva es lineal, es decir:

1. Si f es una función que admite una primitiva F sobre un intervalo I, entonces para todo real k, una primitiva de kf sobre el intervalo I es kF.

2. Si F y G son primitivas respectivas de dos funciones f y g, entonces una primitiva de f + g es F + G.

La linealidad se puede expresar como sigue:


La primitiva de una función impar es siempre par

En efecto, como se ve en la figura siguiente, las áreas antes y después de cero son opuestas, lo que implica que la integral entre -a y a es nula, lo que se escribe así: F(a) - F(-a) = 0, F siendo una primitiva de f, impar. Por lo tanto siempre tenemos F(-a) = F(a): F es par.


La primitiva F de una función f par es impar con tal de imponerse F(0) = 0 [

En efecto, según la figura, la áreas antes y después de cero son iguales, lo que se escribe con la siguiente igualdad de integrales:


Es decir F(0) - F(- a) = F(a) - F(0). Si F(0) = 0, F(- a) = - F(a): F es impar.

La primitiva de una función periódica es la suma de una función lineal y de una función periódica


Para probarlo, hay que constatar que el área bajo una curva de una función periódica, entre las abscisas x y x + T (T es el período) es constante es decir no depende de x. La figura siguiente muestra tres áreas iguales. Se puede mostrar utilizando la periodicidad y la relación de Charles, o sencillamente ¡con unas tijeras! (cortando y superponiendo las áreas de color).
En término de primitiva, significa que F(x + T) - F(x) es una constante, que se puede llamar A. Entonces la función G(x) = F(x) - Ax/T es periódica de período T. En efecto G(x + T) = F(x + T) - A(x + T)/T = F(x) + A - Ax/T - AT/T = F(x) - Ax/T = G(x

). Por consiguiente F(x) = G(x) + Ax/T es la suma de G, periódica, y de Ax/T, lineal.


Y por último, una relación entre la integral de una función y la de su recíproca. Para simplificar, se impone f(0) = 0; a es un número cualquiera del dominio de f. Entonces tenemos la relación:


El área morada es la integral de f, el área amarilla es la de f -1, y la suma es el rectángulo cuyos costados miden a y f(a) (valores algebraicos).

Se pasa de la primera curva, la de f, a la segunda, la de f -1 aplicando la simetría axial alrededor de la diagonal y = x.

El interés de esta fórmula es permitir el cálculo de la integral de f -1 sin conocer una primitiva; de hecho, ni hace falta conocer la expresión de la recíproca.

Cálculo de primitivas

Integrales inmediatas

Artículo principal: Anexo:Integrales

Para encontrar una primitiva de una función dada, basta con descomponerla (escribirla bajo forma de una combinación lineal) en funciones elementales cuyas primitivas son conocidas o se pueden obtener leyendo al revés una tabla de derivadas, y luego aplicar la linealidad de la integral:




Por ejemplo, busquemos una primitiva de x → x(2-3x). Como no se conocen primitivas de un producto, desarrollemos la expresión: x(2-3x)= 2x - 3x2. 2x es la derivada de x2, 3x2 es la de x3, por lo tanto 2x - 3x2 tiene como primitiva x2 - x3 + k. Si además se pide que la primitiva verifique una condición F(x0) = y0 (que recibe el nombre de condición inicial cuando se trata de un problema de física), entonces la constante k es unívocamente determinada. En el ejemplo, si se impone F(2) = 3, entonces forzosamente k = 7.









Función : primitiva de
función : derivada de


































Aquí están las principales funciones primitivas: